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第三章 非稳态热传导

  上章回首 能量守恒定律 傅里叶定律 求解获得 热流密度矢量 求解获得 温度场 导热微分方程 导热问题的 数学描写 定解前提 典型一维 稳态导热 通过肋片 的导热 具有内热源 的导热 稳态导 热 1 第三章 非稳态热传导 从讲人:郭智群 2 引题 ? 钢制工件的热处置是一个典型的非稳态导热过程,控制工 件中温度变化的速度是节制工件热处置质量的主要要素。 金属正在加热炉中加热时需要确定其逗留时间,以达到 ? 的温度。 3 引题 ? 本章内容 根基概念 本章沉点: 控制根基概念; 零维 一维 确定物体瞬时温度场的方式; 正在一段时间间隔内物体所传导热量的计较方式。 4 目次 ? ? ? 3.1 非稳态导热的根基概念 3.2 零维问题的阐发方式——集中参数法 3.3 典型一维物体非稳态导热的阐发解 5 非稳态导热的根基概念 ? 3.1.1 非稳态导热过程的特点及类型 一、定义: 物体的温度随时间而变化的导热过程称为非稳态导热 (unsteady heat conduction) 非周期性:物体温度随时间趋近于恒值 (动力机械启动、遏制) 周期性:物体温度随时间做周期性变化 (地球概况温度随四时更替周期变化) 6 非稳态导热的根基概念 几种典型非稳态导热过程的温度变化率 7 非稳态导热的根基概念 二、特点: ? ? ? 物体中各点的温度随时间发生变化; 物体中各点的热流密度随时间发生变化; 不宜用热阻量阐发非稳态导热; ?t ? ? ?t ? ? ? ?t ? ? ? ? t ? ? ?c ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ?? ?x ? ?x ? ?y ? ?y ? ?z ? ?z ? 此中: ?t ?c ?0 ?? 8 非稳态导热的根基概念 ? 如图所示,已知一复合平壁初始温度为t0,左侧为金属壁面,左 侧为保温层,层间接触优良。令其左侧概况的温度俄然升高到 t1, 左侧取温度为t0的空气接触,阐发温度变化过程。 t 金 金 属 属 壁 壁 保 温 层 t1 P 金 属 壁 保 温 层 t1 P 金 属 壁 保 温 层 t0 A L t0 B L x t0 C L x 9 xx 分歧时辰平壁温度场示企图(一) 非稳态导热的根基概念 P 金 属 壁 E J x 保 温 层 t1 P 金 属 壁 D 保 温 层 t1 t1 P 金 F 保 属 温 壁 层 K t0 A I t0 A x t0 A x 分歧时辰平壁温度场示企图(二) 10 非稳态导热的根基概念 加热或冷却过程的两个主要阶段 ?非正轨情况阶段:这一阶段中温度 分布次要受初始温度分布的节制。 ?正轨情况阶段:分歧时辰的温度分 t1 P 金 属 壁 E D F 保 温 层 布次要受热鸿沟前提的影响。 正轨情况阶段的温度分布计较比非正 t 0 规情况阶段简单得多。 K I A B C J L x 11 非稳态导热的根基概念 Φ ? 对于上述复合壁景象,分歧 时辰摆布概况的导热量随时 间的变化定性用左图暗示。 Φ1 ?导热过程中两者不相等,且随 着过程的进行,其不同逐步减 小,曲到进入稳态阶段两者平 衡。暗影部门代表了复合壁正在 升温过程中积储的能量。 0 Φ2 τ Φ1为从左侧导入金属壁的热流量 Φ2为从左侧导出保温层的热流量 12 非稳态导热的根基概念 ? 3.1.2导热微分方程解的独一性定律 初始前提 非稳态导热问题的求解 鸿沟前提 导热微分方程 假定物体的热物理特征参数均为 ?t ? ? ?t ? ? ? ? t ? ? ? ? t ? ? ?c ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ?? ?x ? ? x ? ? y ? ? y ? ? z ? ? z ? ? ?t ?cp ? ? div ? gradt ? ? ? ?? (3-1a) 13 式中div(grad t)是温度的拉普拉斯(Laplace)算子 ? 2t 非稳态导热的根基概念 ? 引入热扩散率 a ? ? c p ,于是有: ? ?t ? 2 ? a? t ? ?? ?cp 初始前提的一般形式是: t ? x, y, z, 0? ? f ? x, y, z ? (3-1b) (3-2a) 一个适用上经常碰到的简单特例是初始温度平均,即 t ? x , y , z , 0 ? ? t0 (3-2b) 14 非稳态导热的根基概念 第三类鸿沟前提较为常见,本章将着沉会商物体处于恒温 介质中的第三类鸿沟前提的非稳态导热,即: ? ?t ? ?? ? ? ? h tw ? t f ? ?n ? w ? ? (3-3) 数学上能够证明,若是某一函数 t(x , y, z,τ)满脚方程(31a)或(3-1b)以及必然的初始前提和鸿沟前提。则此函数就是 这一特定导热问题的独一解。 换言之,不成能同时存正在两个都满脚导热微分方程及同必然 解前提的分歧的解。 15 非稳态导热的根基概念 3.1.3 第三类鸿沟前提下Bi数对平板中温度分布的影响 会商如左图所示的一块厚度为2δ 的金属平板,初始温度为 ,俄然 t0 将它置于温度为 系数为λ。 却,概况传热系数为h,平板的导热 t的流体中进行冷 ? 按照平板的导热热阻δ/λ取对流 传热热阻1/h的相对大小的分歧,平 板中温度场的变化会呈现以下三种情 形。 16 非稳态导热的根基概念 1、起首会商 Bi ?? ?? 毕渥数 Bi 趋近于无限,即导热热阻 弘远于对传播热热阻(请同窗举例)。 过程一起头,平板概况温度就当即 被冷却到 t ? 。跟着时间的推移,平板 内部各店的温度逐步下降,最初趋近周 围流体温度 t? 。 17 非稳态导热的根基概念 2、会商 Bi ?? ?0 毕渥数 Bi 趋近于0,即对传播 热热阻弘远于导热热阻(请同窗举 例)。 因为平板内部导热热阻 δ/λ 几乎 能够忽略,所以正在整个过程中,平 板中各点的温度根基分歧。并跟着 时间的推移全体地下降,最初趋近 四周流体温度 t。 ? 18 非稳态导热的根基概念 3、会商 Bi 为无限大小 毕渥数 Bi 为无限大小,即导 热热阻δ/λ取对传播热热阻1/h数 值比力接近(请同窗举例)。 该环境下,平板中分歧时辰 的温度分布介于上述两种极端情 况之间。 19 非稳态导热的根基概念 t0 t ? ? t0 t ? t? t0 ? ? t t? ? t? x x x Bi无限大小 Bi ?? ?? ?h Bi ? ? 1h ? Bi ?? ?0 ? ? 特征数:表征某一类物理现象或物理过程特征的纲 数。又称为原则数。呈现正在特征数定义式中的几何标准称为 特征长度,用 l 暗示。 20 目次 ? ? ? 3.1 非稳态导热的根基概念 3.2 零维问题的阐发方式——集中参数法 3.3 典型一维物体非稳态导热的阐发解 21 零维问题的阐发法——集中参数法 ? 当固体内部的导热热阻远小于其概况的换热热阻时,任何时辰 固体内部的温度够趋于分歧,致使能够认为整个固体正在统一瞬 间均处于统一温度下。即,固体的质量和热容量都汇总到一点 上。 这种忽略物体内部导热热阻的简化阐发方式称为集中参数法。 (lumped parameter method) 前提:物体的导热系数相当大,或几何尺寸很小,或概况传热 系数极低。 ? ? 22 零维问题的阐发法——集中参数法 ? 3.2.1 集中参数法温度场的阐发解 设有肆意外形的固体,其体积为V, t∞ 概况积为A,初始温度t0,俄然将其 置于温度恒为t∞的流体中,设t0t∞, 固体取流体间的概况传热系数h及固 体的物性参数均连结,求解物体 温度随时间的依变关系。 此问题可使用集中参数法阐发。 23 零维问题的阐发法——集中参数法 ? 非稳态、有内热源的导热问题 ?t ? ? ?t ? ? ? ?t ? ? ? ? t ? ? ?c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?x ? ?x ? ?y ? ?y ? ?z ? ?z ? 式中:? 是广义热源。界面换的热量应折算成整个 物体的体积热源。 ? ?t ? ? ?? ? c ? ? ?V ? Ah ? t ? t? ? 24 ? 零维问题的阐发法——集中参数法 两式归并有: dt ? cV ? ? Ah ? t ? t? ? d? 引入过余温度 ? ? t ? t?,则有: 导热微分方程 初始前提: d? ? cV ? ? Ah? d? ? ? 0 ? ? t0 ? t? 25 零维问题的阐发法——集中参数法 将导热微分方程分手变量 两边积分得: d? ? ?? hA d? ? cV ? ?? ? 0 d? ? ? ?? 0 hA d? ? cV ? hA ln ? ? ? ?0 ? cV t ? t? ? hA ? ? ? ? exp ? ? ?? ? 0 t0 ? t? ? ? cV ? 留意到V/A具有长度的量纲,并定义: V lc ? A 26 零维问题的阐发法——集中参数法 hlc ? ? hl c a? hA ?? ? ? Bi ? Fo 2 2 ? cV ? ? c lc ? lc Bi是以lc为特征长度的毕渥数,FO称为傅里叶数,也是以lc为其 特征长度。故上式可简化为: ? ? exp ? Bi ? Fo ? ?0 27 零维问题的阐发法——集中参数法 ? 3.2.2 导热量计较式、时间取傅里叶数 1、导热量计较式 导热物体取流体间所互换的热量可由瞬时热流量对时间积分获得。 导热物体的瞬时热流量为: ? hA ? ? hA ? dt ? ? ? ? cV ? ? ? ? cV ? t 0 ? t ? ? ? ? ? ? exp ? ? ?? d? ? ? cV ? ? ? cV ? ? hA ? ? ? t0 ? t? ? hA exp ? ? ?? ? ? cV ? 28 零维问题的阐发法——集中参数法 从τ =0到τ时辰之间所互换的总热量为 ? hA ? ?? ? ? ?d? ? ? t0 ? t? ? ? hA exp ? ? ? ? d? 0 0 ? ? cV ? ? ? ? ? hA ? ? ? ? t0 ? t? ? ? cV ?1 ? exp ? ? ? ?? ? ? cV ? ? ? 换热量是恒为正的,因而对物体被加热的场所应将式中的 t0-t∞改为t∞-t0。物体内部导热热阻能够忽略时的加热或冷却,有 时又称牛顿加热或牛顿冷却。 29 零维问题的阐发法——集中参数法 2、时间 采用集中参数法阐发时,物体中过余温度随时间成指数曲线 关系变化,正在起头阶段温度变化得很快,随后逐步减慢。 30 零维问题的阐发法——集中参数法 正在指数函数中 hA ? cV 具有取 1 ? 不异的量纲。若是 ? ? ? cV ? hA ? 则有: t ? t? ? ? ? exp ? ?1? ? 0.386 ? 38.6% ? 0 t0 ? t? ? cV ? hA ? 称为时间(time constant),记为 τc 。 31 零维问题的阐发法——集中参数法 ? ? ? c ? ? cV ? hA ? 其时间τ= τc 时,物体的过余温度曾经降到了初始过余温 度的36.8%。时间不只取决于几何参数V/A ,物质ρ、 c,还取换热前提h相关。 时间越小,物体的温度变化就越快。物体就越敏捷地 接近流体温度。 32 零维问题的阐发法——集中参数法 ? ? ? c ? ? cV ? hA ? 以热电偶为例,时间越小,热电偶越能敏捷地反 映流体的温度变化,故热电偶端部的接点老是做得很小。 当τ= 4.6τc 时, 态。 33 ? ? 0 ? exp ? ?4.6 ? ? 0.01 工程上认为τ= 4.6τc 时导热物体曾经达到热均衡状 扩展· 热电偶 热电偶(thermocouple)是常用 的测温元件,它间接丈量温度,并把 温度信号转换成热电动势信号,通过 电气仪表(二次仪表)转换成被测介 质的温度。 测温道理:两种分歧成份的导体两 端接合构成回, 当两个接合点的 温度分歧时,正在回中就会发生电 动势,这种现象称为热电效应。 34 扩展· 热电偶 热电偶分度号 正极 S R B 铂铑 10 铂铑 13 铂铑 30 热电极材料 负极 纯铂 纯铂 铂铑 6 K T J N E 镍铬 纯铜 铁 镍铬硅 镍铬 镍硅 铜镍 铜镍 镍硅 铜镍 35 零维问题的阐发法——集中参数法 3、傅里叶数的物理意义 从鸿沟上起头发生热扰动的时 刻起到所计较时辰为止的时间 间隔 鸿沟上发生的无限大小的热扰 动穿过必然厚度的固体层扩散 到lc2的面积上所需的时间 FO ? 2 l ? c a? ? 傅里叶数能够理解为两个时间间隔相除所得的纲时间。 故Fo能够当作是表征非稳态过程进行深度的纲时间。 36 零维问题的阐发法——集中参数法 FO ? 2 l ? c a? ? 正在非稳态导热过程中,这一纲时间越大, 热扰动就越深切地到物体内部,因此物体内各 点的问题就越接近四周介质的温度。 37 零维问题的阐发法——集中参数法 3.2.3 集中参数法的适用范畴及使用举例 对于平板、圆柱和球中的一维非稳态第三类鸿沟前提下的 导热问题,当按特征长度 l= δ,厚度为2 δ l=R,圆柱 l=R,球 定义Bi数≤0.1 Bi ? hl ? 38 典型一维物体非稳态导热的阐发解 Bi ? hlc ? ? 0.1(板 ), 0.05 ? 柱 ?,0. 03 ? 球 ? 因为lc=V/A,对圆柱和球别离是R的1/2和1/3。因而 若是以lc做为毕渥数的特征长度,则该Bi数对平板、圆 柱和球应别离小于0.1、0.05和0.033。 (如例题3-1、3-2、3-3) 39 目次 ? ? ? 3.1 非稳态导热的根基概念 3.2 零维问题的阐发方式——集中参数法 3.3 典型一维物体非稳态导热的阐发解 40 典型一维物体非稳态导热的阐发解 ? 所谓一维是指:对平板,温度仅沿着厚度标的目的变化;对圆柱和球, 温度仅沿着半径标的目的变化。 以平板为例,厚为2 δ的无限 大平板,初始温度为t0。将其置 t0 于温度为 t∞ 的流体中,设平板两 边对称受热,板内温度必然以其 核心截面为对称面。 研究厚为δ 的半块平板环境 即可,将x轴远点置于板的核心截 面上 41 h,t∞ -δ 0 h,t∞ δ 典型一维物体非稳态导热的阐发解 对于x≥0的半块平板,导热微分方程及定解前提为: ?t ? 2t ? a 2 ? 0 ? x ? ? ,? ? 0 ? ?? ?x t ? x, 0 ? ? t0 ? 0 ? x ? ? ? 定 解 条 件 ?t ? x , ? ? ?x x?0 初始前提 ?0 ?t ? x , ? ? ?x x ?? 42 鸿沟前提 h? ? t ? ? ,? ? ? t ? ? ??? 典型一维物体非稳态导热的阐发解 引入过余温度 t0 h,t∞ -δ 0 ? ? t ? x ,? ? ? t ? h,t∞ δ 经分手变量后可得阐发解如下: ? ??,? ? ? =? C n exp ? ? ?n 2 FO ? cos ? ? n? ? ?0 n ?1 式中,FO为傅里叶数,FO=a τ / δ 2, η =x/ δ 43 典型一维物体非稳态导热的阐发解 ? ??,? ? ? =? C n exp ? ? ?n 2 FO ? cos ? ?n? ? ?0 n ?1 系数Cn该当使上述无限级数正在初始时辰( τ =0时)满脚初 始前提,由傅里叶级数理论可得: 2 sin ? n Cn = ? n ? sin ? n cos ? n μn是下列超越方程的根,称为特征值: tan ?n ? Bi ?n , n ? 1, 2, … 44 典型一维物体非稳态导热的阐发解 ?非稳态导热的正轨情况(温度分布取决于鸿沟前提)阐发解: ? ??,? ? 2sin ?1 平板 = exp ? ? ?12 FO ? cos ? ?1? ? ?0 ?1 ? sin ?1 cos ?1 J 1 ? ?1 ? ? ??,? ? 2 2 柱 = exp ? ? ? 1 FO ? J 0 ? ?1? ? 2 2 ?0 ?1 J 0 ? ?1 ? ? J1 ? ?1 ? sin ? ?1? ? ? ??,? ? 2 ? sin ?1 ? ?1 cos ?1 ? 2 球 = exp ? ? ?1 FO ? ?0 ?1 ? sin ?1 ?1? 45 典型一维物体非稳态导热的阐发解 ? 3.3.3 非稳态导热正轨情况阶段的工程计较方式 1、图线法 简练、便利。但计较的精确度收到图线、近似拟合公式法 便于计较机求解,同时免除图线 典型一维物体非稳态导热的阐发解 ? 3.3.4 Fo、Bi 对过程影响的会商 1、物体中各点的过余温度随时间τ、Fo数的添加而减小; 2、Bi数越大,概况换热前提越强,物体核心温度越能敏捷 地接近四周介质的温度。(Bi→∞,相当于过程起头霎时物体表 面就达到了介质的温度) 3、Bi数的大小还决定了物体中温度趋于平均的程度 (Bi0.1时,截面上过余温度差已小于5%。即可采用集中参数 法。) 47 本章小结 根基概念 零维 一维 非 稳 态 过 程 特 点 Bi 数 的 影 响 集 中 参 数 法 时 间 常 数 Fo 数 物 理 意 义 正 规 状 况 表 达 式 Fo 数 的 影 响 48 做 业 3-13 (10月11日交) 49

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